Question

（2013•寧波二模）在直角坐標(biāo)平面上，已知點(diǎn)A（0，2），B（0，1），D（t，0）（t＞0）．點(diǎn)M是線段AD上的動點(diǎn)，如果|AM|≤2|BM|恒成立，則正實(shí)數(shù)t的最小值是

2

3

3

．

Answer 1

分析：設(shè)M（x，y），由題意可得y=

2t-2x

t

，代入距離公式可得x²+（y-2）²≤4[x²+（y-1）²]，消掉y可得（3t²+12）x²-16tx+4t²≥0恒成立，進(jìn)而可得其△≤0，解此不等式可得t的范圍，進(jìn)而可得最小值．

解答：解：設(shè)M（x，y），則由A、M、D三點(diǎn)共線可得

y-2

x

=

y

x-t

，整理可得y=

2t-2x

t

，
由兩點(diǎn)間的距離公式，結(jié)合|AM|≤2|BM|恒成立可得x²+（y-2）²≤4[x²+（y-1）²]，
整理可得3x²+3y²-4y≥0，代入y=

2t-2x

t

化簡可得（3t²+12）x²-16tx+4t²≥0恒成立，
∵3t²+12＞0，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得△=（-16t）²-4（3t²+12）•4t²≤0，
整理可得3t⁴-4t²≥0，即t2≥

4

3

，解得t≥

2 3

3

，或t≤-

2 3

3

（因?yàn)閠＞0，故舍去）
故正實(shí)數(shù)t的最小值是：

2 3

3

故答案為：

2 3

3

點(diǎn)評：本題考查兩點(diǎn)間的距離公式，涉及不等式的解法，屬中檔題．