Question

已知函數的圖象過點（-1，-6），且函數 的圖象關于y軸對稱.
（1）求、的值及函數的單調區間；
（2）若函數在（-1，1）上單調遞減，求實數的取值范圍。

Answer 1

解：（1）由函數f(x)圖象過點（－1，－6），得m-n="-3,"
由f(x)=x³+mx²+nx-2，得f′（x）=3x²+2mx+n,
則g(x)=f′(x)+6x=3x²+(2m+6)x+n;
而g(x)圖象關于y軸對稱，所以－＝0，所以m=-3,代入①得n=0.
于是f′(x)＝3x²-6x=3x(x-2).  由f′(x)>0得x>2或x<0,
故f(x)的單調遞增區間是（－∞，0），（2，＋∞）；
由f′(x)<0得0<x<2,
故f(x)的單調遞減區間是（0，2）.
（2）解： 由在(-1,1)上恒成立，得a≥3x²-6x對x∈(-1,1)恒成立. ∵-1<x<1,∴3x² -6x<9,∴只需a≥9.∴a≥9.

本試題主要考查了導數在函數研究中的應用。利用導數能求解函數的單調性和奇偶性問題，以及能根據函數單調區間，逆向求解參數的取值范圍的求解問題。要利用導數恒小于等于零來解得 。