Question

在△ABC中，已知cosA=

4

5

，sin(B-A)=

3

5

，求sinB的值．

Answer 1

分析：根據(jù)A為三角形的角得到A的范圍，然后由cosA的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系即可求出sinA的值；再由sin（B-A）的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系即可求出cos（B-A）的值，發(fā)現(xiàn)cos（B-A）的值有兩種情況，大于0和小于0，然后把所求的sinB里的角變?yōu)锳+（B-A），然后利用兩角和的正弦函數(shù)公式化簡后，把各自的值代入即可求出值．

解答：解：在△ABC中，cosA=

4

5

，
∴sinA=

3

5

．
又sin（B-A）=

3

5

，
∴0＜B-A＜π．
∴cos（B-A）=

4

5

，或cos（B-A）=-

4

5

．
若cos（B-A）=

4

5

，
則sinB=sin[A+（B-A）]=sinAcos（B-A）+cosAsin（B-A）=

3

5

•

4

5

+

4

5

•

3

5

=

24

25

．
若cos（B-A）=-

4

5

，
則sinB=sin[A+（B-A）]=sinAcos（B-A）+cosAsin（B-A）=

3

5

•(-

4

5

)+

4

5

•

3

5

=0（舍去）．
綜上所述，得sinB=

24

25

．

點評：此題考查學(xué)生靈活運用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系及兩角和的正弦函數(shù)公式化簡求值，是一道中檔題．學(xué)生做題時應(yīng)注意cos（B-A）可以取兩值，所以必須進行分類討論．