Question

【題目】某公司為了確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)用，需了解年宣傳費(fèi)x（單位：萬元）對年銷量y（單位：噸）和年利潤（單位：萬元）的影響.對近6宣傳費(fèi)xi和年銷售量yi（i＝1，2，3，4，5，6）的數(shù)據(jù)做了初步統(tǒng)計，得到如下數(shù)據(jù)：

年份	2013	2014	2015	2016	2017	2018
年宣傳費(fèi)x（萬元）	38	48	58	68	78	88
年銷售量y（噸）	16.8	18.8	20.7	22.4	24.0	25.5

經(jīng)電腦模擬，發(fā)現(xiàn)年宣傳費(fèi)x（萬元）與年銷售量y（噸）之間近似滿足關(guān)系式y＝axb（a，b＞0），即lny＝blnx+lna．，對上述數(shù)據(jù)作了初步處理，得到相關(guān)的值如下表：

75.3	24.6	18.3	101.4

（Ⅰ）從表中所給出的6年年銷售量數(shù)據(jù)中任選2年做年銷售量的調(diào)研，求所選數(shù)據(jù)中至多有一年年銷售量低于20噸的概率.

（Ⅱ）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，求關(guān)于的回歸方程；

（Ⅲ） 若生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定成本為200（萬元），且每生產(chǎn)1（噸）產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為20（萬元）（總成本=固定成本+生產(chǎn)成本+年宣傳費(fèi)），銷售收入為（萬元），假定該產(chǎn)品產(chǎn)銷平衡（即生產(chǎn)的產(chǎn)品都能賣掉），則2019年該公司應(yīng)該投入多少宣傳費(fèi)才能使利潤最大？（其中）

附：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線中的斜率和截距的最小二乘估計分別為

Answer 1

【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）（Ⅲ）100萬元

【解析】

（Ⅰ）利用古典概型計算公式即可得到結(jié)果；

（Ⅱ）分別求出u，v的平均數(shù)，求出相關(guān)系數(shù)求出回歸方程即可；

（Ⅲ）設(shè)該公司的年利潤為，因為利潤=銷售收入-總成本，根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)求最值即可.

解：(Ⅰ)記事件表示“至多有一年年銷量低于20噸”，由表中數(shù)據(jù)可知6年的數(shù)據(jù)中有2013年和2014年的年銷量低于20噸，記這兩年為，其余四年為，則從6年中任取2年共有， 15種不同取法，

事件包括，共14種取法，故

（Ⅱ）對兩邊取對數(shù)得，令得，由題中數(shù)據(jù)得：，

，

所以，由，得，

故所求回歸方程為

（Ⅲ）設(shè)該公司的年利潤為，因為利潤=銷售收入-總成本，所以由題意可知

，

所以當(dāng)即時，利潤取得最大值500（萬元），故2019年該公司投入100萬元的宣傳費(fèi)才能獲得最大利潤.