Question

已知橢圓（）右頂點到右焦點的距離為，短軸長為.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過左焦點的直線與橢圓分別交于、兩點，若線段的長為，求直線的方程．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）或．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由題意列關于a、b、c的方程組，解方程得a、b、c的值，既得橢圓的方程；（Ⅱ）分兩種情況討論：當直線與軸垂直時，，此時不符合題意故舍掉；當直線與軸不垂直時，設直線 的方程為：，代入橢圓方程消去得：，再由韋達定理得，從而可得直線的方程．

試題解析：（Ⅰ）由題意，，解得，即：橢圓方程為         4分                           

（Ⅱ）當直線與軸垂直時，，此時不符合題意故舍掉；           6分

當直線與軸不垂直時，設直線的方程為：，

代入消去得： ．

設 ，則                            8分

所以   ，                                           11分

由，                                   13分

所以直線或．                14分

考點：1、橢圓的方程；2、直線被圓錐曲線所截弦長的求法；3、韋達定理．