Question

【題目】定義，，…，的“倒平均數”為.

（1）若數列前項的“倒平均數”為，求的通項公式；

（2）設數列滿足：當為奇數時，，當為偶數時，.若為前項的倒平均數，求；

（3）設函數，對（1）中的數列，是否存在實數，使得當時，對任意恒成立？若存在，求出最大的實數；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，

【解析】

（1）根據定義求得數列的前項和.再根據和項與通項關系求出的通項公式.

（2）先根據為偶數和為奇數時，分別求出數列的前項和，再根據定義求出，最后求出.

（3）先化簡不等式得對任意恒成立，再根據數列單調性求最小值，最后根據不等式解集推導出存在最大的實數

（1）設數列的前項和為，

由題意，，

所以.

所以，當時，，

而也滿足此式.

所以的通項公式為.

（2）設數列的前項和為，則當為偶數時，，

當為奇數時，.

所以，

所以.

（3）假設存在實數，使得當時，對任意恒成立，

則對任意恒成立，

令，因為，

所以數列是遞增數列，

所以只要，即，

解得或.

所以存在最大的實數，

使得當時，對任意恒成立.