Question

（04年福建卷理）（14分）

已知f(x)=(x∈R)在區間[-1，1]上是增函數。

（Ⅰ）求實數a的值組成的集合A；

（Ⅱ）設關于x的方程f(x)=的兩個非零實根為x₁、x₂.試問：是否存在實數m，使得不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|對任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立？若存在，求m的取值范圍；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解析：（Ⅰ）f＇(x)== ，

∵f(x)在[-1，1]上是增函數，

∴f＇(x)≥0對x∈[-1，1]恒成立，

即x²-ax-2≤0對x∈[-1，1]恒成立.        ①

設(x)=x²-ax-2，

方法一：

①-1≤a≤1，

∵對x∈[-1，1]，f(x)是連續函數，且只有當a=1時，f＇(-1)=0以及當a=-1時，f＇(1)=0

∴A={a|-1≤a≤1}.

方法二：

①    或

   0≤a≤1     或   -1≤a≤0

   -1≤a≤1.

∵對x∈[-1，1]，f(x)是連續函數，且只有當a=1時，f＇(-1)=0以及當a=-1時，f＇(1)=0

∴A={a|-1≤a≤1}.

（Ⅱ）由=，得x²-ax-2=0，

∵△=a²+8>0

∴x₁，x₂是方程x²-ax-2=0的兩非零實根，

∴ 從而|x₁-x₂|==.

∵-1≤a≤1，∴|x₁-x₂|=≤3.

要使不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|對任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，

當且僅當m²+tm+1≥3對任意t∈[-1，1]恒成立，

即m²+tm-2≥0對任意t∈[-1，1]恒成立.        ②

設g(t)=m²+tm-2=mt+(m²-2)，

方法一：

②

m≥2或m≤-2.

所以，存在實數m，使不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|對任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，其取值范圍是{m|m≥2，或m≤-2}.

方法二：

當m=0時，②顯然不成立；

當m≠0時，

 ②或

m≥2或m≤-2.

所以，存在實數m，使不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|對任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，其取值范圍是{m|m≥2，或m≤-2}.