Question

【題目】已知元集合的一些子集滿(mǎn)足：每個(gè)子集至少含2個(gè)元素，每?jī)蓚�(gè)不同子集的交集至多含2個(gè)元素，記這些子集的元素個(gè)數(shù)的立方和為.問(wèn)：是否存在不小于3的正整數(shù)，使的最大值等于2009的方冪？說(shuō)明你的理由．

Answer 1

【答案】見(jiàn)解析

【解析】

設(shè)取最大值時(shí)，對(duì)應(yīng)有個(gè)子集．則．

若存在某個(gè)，使，不妨設(shè)為，將的所有三元子集記為，則．

對(duì)任意的，有.

對(duì)任意的，有．

由已知，對(duì)任意的，，有

．

故可用替換原先的，形成新的子集族．

因

，

所以，替換后所有集合元素個(gè)數(shù)的立方和增加，這與的最大性矛盾．

于是，當(dāng)取最大值時(shí)，每個(gè)子集元素的個(gè)數(shù)都不大于3．

又取一切的二元子集和三元子集形成的子集族滿(mǎn)足題意，于是，它們的元素個(gè)數(shù)的立方和為

.

假設(shè)．則

． ①

若是偶數(shù)，則是偶數(shù)．從而，式①左邊是4的倍數(shù)，矛盾．

所以，是奇數(shù)．

記，則

是10的約數(shù)．

結(jié)合式①知．

又因，，所以，當(dāng)時(shí)，式①左邊的三個(gè)因數(shù)的質(zhì)因子互不相同，故只可能．此時(shí)，，而式①右邊不含質(zhì)因子3，矛盾．

綜上，不存在不小于3的正整數(shù)，使的最大值等于2009的方冪．