Question

【題目】已知拋物線的頂點在坐標原點，其焦點在軸正半軸上，為直線上一點，圓與軸相切（為圓心），且，關于點對稱.

（1）求圓和拋物線的標準方程；

（2）過的直線交圓于，兩點，交拋物線于，兩點，求證：.

Answer 1

【答案】（1）的標準方程為.的標準方程為（2）見證明

【解析】

（1）根據題意可得，解得a、p,即可求出圓與拋物線的標準方程，

（2）設l的斜率為k，那么其方程為y＝k（x+2），根據韋達定理和弦長公式即可證明．

（1）設拋物線的標準方程為，則焦點的坐標為.

已知在直線上，故可設

因為，關于對稱，所以，解得

所以的標準方程為.

因為與軸相切，故半徑，

所以的標準方程為.

（2）由（1）知，直線的斜率存在，設為，且方程為

則到直線的距離為，

所以，

由消去并整理得：.

設，，則，，.

所以

因為，，，所以

所以，即.