Question

已知數列{a_n}的前n項和Sn=2+(n-1)(

1

2

)n-1(n∈N*)，則存在數列{x_n}，{y_n}，使得：（　　）

A．an=xn+yn，n∈N*，其中{xn}，{yn}為等差數列

B．an=xnyn，n∈N*，其中{xn}，{yn}為等比數列

C．an=xn+yn，n∈N*，其中{xn}為等差數列，{yn}為等比數列

D．an=xnyn，n∈N*，其中{xn}為等差數列，{yn}為等比數列

Answer 1

當n=1時，a₁=S₁=a，
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1
=[2+(n-1)(

1

2

)n-1]-[2+(n-2)(

1

2

)n-2]
=(n-1)(

1

2

)n-1-(n-2)(

1

2

)n-2
=(n-1)(

1

2

)n-1-(2n-4)(

1

2

)n-1
=(3-n)(

1

2

)n-1
令x_n=3-n，y_n=(

1

2

)n-1
則{x_n}為等差數列，{y_n}為等比數列
故a_n=x_ny_n，n∈N^*，其中{x_n}為等差數列，{y_n}為等比數列
故選D