Question

如圖所示，一根繩穿過兩個定滑輪，且兩端分別掛有5N和3N的重物，現在兩個滑輪之間的繩上掛一個重量為m（N）的物體，恰好使得系統處于平衡狀態，求正數m的取值范圍．（滑輪大小可忽略不計）

Answer 1

分析：本題由向量加法的物理意義建立方程得到具有物理背景的量的方程，然后根據三角的相關公式整理出正數m關于角的函數，再進行恒等變換求出參數的取值范圍．

解答：解：如圖建立坐標系，記OB、OA與y軸的正半軸的夾角
分別為α，β，則由三角函數定義得

OB

=(3sinα， 3cosα)，

OA

=(5cos(90°+β)， 5sin(90°+β))=(-5sinβ，5cosβ)

OC

=(0， -m)
由于系統處于平衡狀態，∴

OC

+

OB

+

OA

=

0

∴

3sinα-5sinβ=0 (1) 3cosα+5cosβ=m  (2)

兩式平方相加得34+30cos（α+β）=m²
由（1）知sinβ=

3

5

sinα，而α，β∈[0，

π

2

]
∴β隨α單調遞增，且sinβ≤

3

5

=sinθ
∴0≤β≤θ
且β＜α≤

π

2

（寫成β≤α≤

π

2

不扣分，這時α，β均為0）
從而0＜α+β≤

π

2

+θ，（這里α+β的范圍不是（0，π），這是易錯點）
∴cos(

π

2

+θ)≤cos(α+β)＜1，即-

3

5

≤cos(α+β)＜1
∴16≤m²＜64∴正數m的取值范圍為4≤m＜8．

點評：本題考點是平面微量的正交分解及坐標表示，考查了有實際物理背景的向量之間的運算，本題用向量的加法法則建立起相關的方程，然后求出參數，用向量方法求解物理問題是向量的一個重要運用，就好好總結物理量與向量的關聯方法．