Question

如圖，已知二次函數y=（x+m）²+k-m²的圖象與x軸相交于兩個不同的點A（x₁，0）、B（x₂，0），與y軸的交點為C．設△ABC的外接圓的圓心為點P．
（1）求⊙P與y軸的另一個交點D的坐標；
（2）如果AB恰好為⊙P的直徑，且△ABC的面積等于，求m和k的值．

Answer 1

（1）（0，1）   （2）k=-1，m=-2

解：（1）易求得點C的坐標為（0，k）
由題設可知x₁，x₂是方程（x+m）²+k-m²=0即x²+2mx+k=0的兩根，
所以x_1，2=，
所x₁+x₂=-2m，x₁•x₂=k（1分）
如圖，∵⊙P與y軸的另一個交點為D，由于AB、CD是⊙P的兩條相交弦，設它們的交點為點O，連接DB，

∴△AOC∽△DOB，則OD=（2分）
由題意知點C在y軸的負半軸上，從而點D在y軸的正半軸上，
所以點D的坐標為（0，1）（3分）
（2）∵AB⊥CD，AB又恰好為⊙P的直徑，則C、D關于點O對稱，
所以點C的坐標為（0，-1），
即k=-1（4分）
又AB=|x₂-x₁|==，
所以S_△ABC=AB×OC=×2×1=，
解得m=±2．（正值舍去）
∴k=-1，m=-2．