Question

【題目】已知橢圓：的左、右頂點分別是雙曲線：的左、右焦點，且與相交于點()．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設直線：與橢圓交于A，B兩點，以線段AB為直徑的圓是否恒過定點?若恒過定點，求出該定點；若不恒過定點，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）以線段AB為直徑的圓恒過定點.

【解析】

（1）根據點在雙曲線上，求出，由橢圓的左右頂點是雙曲線的左右焦點可求出，最后由點也在橢圓上求得.

（2）先把直線方程與橢圓方程聯立，消去，得到關于的一元二次方程，利用根據系數的關系得到，兩點的橫坐標關系.根據圓上任意一點到直徑端點的構成的兩個向量垂直，即數量積為0，則可求出以線段AB為直徑的圓恒過定點.

解：（1）將代入

解得，.

將代入解得，

橢圓的標準方程為：；

（2）設，

由整理得

，

法一：由對稱性可知，以AB為直徑的圓若恒過定點，是定點必在y軸上.

設定點為，則

，解得，

以線段AB為直徑的圓恒過定點

法二：設定點為，則

…

解得，

以線段AB為直徑的圓恒過定點.