Question

如圖，在棱長為a的正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁中，M、N分別是AA₁、D₁C₁的中點，過D、M、N三點的平面與正方體的下底面相交于直線l；

(1)畫出直線l；
(2)設l∩A₁B₁=P,求PB₁的長；
(3)求D到l的距離.

Answer 1

（1）見解析 （2）PB₁=a  (3)

(1)連結DM并延長交D₁A₁的延長線于Q.連結NQ，則NQ即為所求的直線l.
(2)設QN∩A₁B₁=P,△A₁MQ≌△MAD,∴A₁Q=AD=A₁D₁,A₁是QD₁的中點.
∴A₁P=D₁N=.∴PB₁=a.
(3)作D₁H⊥l于H，連結DH，可證明l⊥平面DD₁H，則DH⊥l,則DH的長就是D到l的距離.
在Rt△QD₁N中，兩直角邊D₁N=,D₁Q=2a,斜邊QN=,∴D₁H·QN=D₁N·D₁Q,即D₁H=,DH=,∴D₁到l的距離為.