Question

【題目】已知函數(shù)

（1）若函數(shù)在區(qū)間上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（2）若函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（3）若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象與函數(shù)圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）在區(qū)間上恒成立等價(jià)于當(dāng)時(shí)，恒成立，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性求出最大值即可得解；（2）求出導(dǎo)數(shù)，則在區(qū)間上有兩個(gè)不同零點(diǎn)，根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)列出不等式組求a的取值范圍，取，，判斷函數(shù)單調(diào)性驗(yàn)證，分別為極大值與極小值即可；（3）題意等價(jià)于函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，分析函數(shù)單調(diào)性知，再根據(jù)為函數(shù)的極值點(diǎn)即可代入不等式求出的范圍從而求出a的范圍，再驗(yàn)證函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn).

（1）

即當(dāng)時(shí)，恒成立，

設(shè)

，

因?yàn)?/span>，所以，在上單調(diào)遞增，

所以，所以，．

（2）因?yàn)?/span>，

所以在區(qū)間上有兩個(gè)極值點(diǎn)的必要條件為

在區(qū)間上有兩個(gè)不同零點(diǎn)，

則，

當(dāng)時(shí)，在上遞減，在上遞增

，，

所以存在唯一的，使得，

因?yàn)?/span>在區(qū)間大于零，在區(qū)間小于零，在區(qū)間上大于零，

所以在區(qū)間上遞增，在區(qū)間上遞減，在上遞增，

所以，分別為極大值與極小值，

所以當(dāng)時(shí)函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)極值點(diǎn)；

（3）因?yàn)?/span>

所以，

令，，

令，解得（舍去），.

		0	＋
	↓	極小值	↑

因?yàn)?/span>有兩個(gè)零點(diǎn)，

所以，①

又因?yàn)?/span>，所以②

代入①得到，

令，

所以在上遞減，因?yàn)?/span>，所以，

因?yàn)?/span>在區(qū)間上遞增，所以．

i）因?yàn)?/span>，所以，

，

令，，

所以

所以在上遞增，，所以

所以在區(qū)間上存在唯一一個(gè)零點(diǎn)．

ⅱ）又因?yàn)?/span>

，

且，

所以在區(qū)間上存在唯一一個(gè)零點(diǎn)，

綜上時(shí)，的圖像與圖像有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．

解法二：由

得

令，

令，．

，所以當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，

所以在區(qū)間上遞減，在區(qū)間上遞增，

所以即，

i）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>

所以

取，則

所以在區(qū)間上存在唯一一個(gè)零點(diǎn)，

ii）當(dāng)時(shí)，

令，

因?yàn)?/span>，，

所以，所以在上遞增，

，所以，即

所以在區(qū)間上存在唯一一個(gè)零點(diǎn)，

綜上時(shí)，的圖像與圖像有兩個(gè)不同的交點(diǎn).