Question

已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．
（1）求；
（2）證明：當(dāng)時(shí)，曲線與直線只有一個(gè)交點(diǎn)．

Answer 1

（1）；（2）詳見解析．

試題分析：（1），由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得，故切線方程為，將點(diǎn)代入求；（2）曲線與直線只有一個(gè)交點(diǎn)轉(zhuǎn)化為函數(shù)有且只有零點(diǎn)．一般思路往往利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)，從而判斷函數(shù)大致圖象，再說明與軸只有一個(gè)交點(diǎn)．本題首先入手點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，，且，，所以在有唯一實(shí)根．只需說明當(dāng)時(shí)無根即可，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824053622405590.png" style="vertical-align:middle;" />，故只需說明，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值問題處理．
（1），．曲線在點(diǎn)處的切線方程為．由題設(shè)得，，所以．
（2）由（1）得，．設(shè)．由題設(shè)得．當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，，，所以在有唯一實(shí)根．當(dāng)時(shí)，令，則．，在單調(diào)遞減；在單調(diào)遞增．所以．所以在沒有實(shí)根，綜上，在上有唯一實(shí)根，即曲線與直線只有一個(gè)交點(diǎn)．