Question

【題目】已知橢圓：的離心率，左、右焦點(diǎn)分別是、，且橢圓上一動點(diǎn)到的最遠(yuǎn)距離為，過的直線與橢圓交于，兩點(diǎn).

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）當(dāng)以為直角時，求直線的方程；

（3）直線的斜率存在且不為0時，試問軸上是否存在一點(diǎn)使得，若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）直線的方程為或（3）存在，

【解析】

（1）由橢圓的離心率，且橢圓上一動點(diǎn)到的最遠(yuǎn)距離為，列出方程組，求得的值，即可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)直線：，則：，聯(lián)立方程組，求得的值，即可求得直線的方程；

（3）設(shè)：，聯(lián)立方程組，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，求得，，再由斜率公式和以，即可求解點(diǎn)的坐標(biāo)，得到答案.

（1）由題意，橢圓的離心率，且橢圓上一動點(diǎn)到的最遠(yuǎn)距離為，

可得，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）由題意可知，當(dāng)不存在時，不符合題意.

設(shè)直線：，則：，

∴，得，∴

∴，，∴，

直線的方程為或.

（3）設(shè)，，，：，

∴，

∴，，

∵，，所以，

∴，∴，

∴，，∴.