Question

已知首項為的等比數列{a_n}是遞減數列，其前n項和為S_n，且S₁+a₁，S₂+a₂，S₃+a₃成等差數列．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若，數列{b_n}的前n項和T_n，求滿足不等式≥的最大n值．

Answer 1

（I）a_n=a₁=()ⁿ；（Ⅱ）n的最大值為4．

試題分析：（I）{a_n}是一等比數列，且a₁=.設等比數列{a_n}的公比為q，由S₁+a₁，S₂+a₂，S₃+a₃成等差數列，可得一個含公比q的方程，解這個方程便得公比q，從而得數列{a_n}通項公式.
（Ⅱ）由題設及（I）可得：b_n=a_nlog₂a_n=-n?()ⁿ，由等差數列與等比數列的積或商構成的新數列，求和時用錯位相消法.用錯位相消法可求得，變形得≥，解這個不等式得n≤4，從而得 n的最大值．
試題解析：（I）設等比數列{a_n}的公比為q，由題知  a₁=，
又∵ S₁+a₁，S₂+a₂，S₃+a₃成等差數列，
∴ 2(S₂+a₂)=S₁+a₁+S₃+a₃，
變形得S₂-S₁+2a₂=a₁+S₃-S₂+a₃，即得3a₂=a₁+2a₃，
∴ q=+q²，解得q=1或q=，                   4分
又由{a_n}為遞減數列，于是q=，
∴ a_n=a₁=()ⁿ．                            6分
（Ⅱ）由于b_n=a_nlog₂a_n=-n?()ⁿ，
∴ ，
于是，
兩式相減得：
∴ ．
∴ ≥，解得n≤4，
∴ n的最大值為4．                       12分