Question

如圖，平行六面體ABCD－A₁B₁C₁D₁中，以頂點A為端點的三條棱長都為1，且兩兩夾角為60°.

(1)求AC₁的長；

(2)求BD₁與AC夾角的余弦值.

Answer 1

設＝a，＝b，＝c，則|a|＝|b|＝|c|＝1，

〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，

∴a·b＝b·c＝c·a＝.

(1)| |²＝(a＋b＋c)²

＝a²＋b²＋c²＋2a·b＋2b·c＋2a·c

＝1＋1＋1＋2×(＋＋)＝6.

∴AC₁＝||＝.

(2)＝b＋c－a，＝a＋b.

∴||＝，||＝.

·＝(b＋c－a)·(a＋b)

＝b²－a²＋a·c＋b·c＝1.

∴cos〈，〉＝.

∴AC與BD₁夾角的余弦值為.