Question

【題目】已知函數.

（1）若關于的方程在上恰有兩個不相等的實數根，求實數的取值范圍；

（2）是否存在實數使得總成立？若存在，求實數的值；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在實數滿足題意.

【解析】

（1）由得：

設，則

令，得，，列表得：

x			1		2
		-	0	+
h(x)			極小值		m-2+ln2

∴當時，的極小值為，又，

∵方程在上給有兩個不相等的實數根，故

即解得：.

（2）存在，理由如下：

等價于，或

令，

則，，

①若，當時，，，所以：

當時，，，所以，所以在單調遞減區間為，單調遞增區間為，

又，所以，當且僅當時，，從而在上單調遞增，又，所以或即.

②若，因為在遞增且，

當時，，所以存在，使得，因為在單調遞增，所以當時，，

在上遞增，又，所以當時，，

從而在上遞減，又，所以當時，，此時不恒成立；

③若，同理可得不恒成立.

綜上所述，存在實數.