Question

【題目】在直角坐標系中，曲線與x軸交于A，B兩點，點Q的坐標為.

（1）是否存在b，使得，如果存在求出b值；如果不存在，說明理由；

（2）過A，B，Q三點的圓面積最小時，求圓的方程.

Answer 1

【答案】（1）不存在，理由見詳解；（2）

【解析】

（1）求解直線與直線的斜率，根據韋達定理，通過計算斜率之積，即可判斷；

（2）通過求解的垂直平分線，求得外接圓圓心坐標，以及半徑，再求得半徑的最小值，在半徑最小的情況下，求得參數，即可獲得圓的方程.

（1）不能出現的情況，理由如下：

設，則滿足，

所以.又Q坐標為.

故AQ的斜率與BQ的斜之積為

所以不能出現的情況.

（2）BQ的中點坐標為，

可得BQ的中垂線方程為

由（1）可得，

所以AB的中垂線方程為.

聯立，

又，可得

所以過A、B、Q三點的圓的圓心坐標為，半徑.

當時，半徑r最小為，

此時圓的方程為：.