Question

【題目】已知a∈R，函數f（x）=2x3﹣3（a+1）x2+6ax．
（1）若函數f（x）在x=3處取得極值，求曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；
（2）若a＞ ，函數y=f（x）在[0，2a]上的最小值是﹣a2 ， 求a的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=2x3﹣3（a+1）x2+6ax，

∴f′（x）=6x2﹣6（a+1）x+6a，

∵3是函數y=f（x）的極值點，

∴f′（3）=0，即6×32﹣6（a+1）×3+6a=0，

解得：a=3，

∴f（x）=2x3﹣12x2+18x，

f′（x）=6x2﹣24x+18，

則f（0）=0，f′（0）=18，

∴y=f（x）在（0，f（0））處的切線方程是：y=18x；

（2）解：由（1）得：f′（x）=6x2﹣6（a+1）x+6a，

∴f′（x）=6（x﹣1）（x﹣a），

①a=1時，f′（x）=6（x﹣1）2≥0，

∴f（x）min=f（0）=0≠﹣a2，

故a=1不合題意；

②a＞1時，令f′（x）＞0，則x＞a或x＜1，

令f′（x）＜0，則1＜x＜a，

∴f（x）在[0，1]遞增，在[1，a]遞減，在[a，2a]遞增，

∴f（x）在[0，2a]上的最小值是f（0）或f（a），

∵f（0）=0≠﹣a2，由f（a）=2a3﹣3（a+1）a2+6a2=﹣a2，

解得：a=4；

③ ＜a＜1時，令f′（x）＞0，則有x＞1或x＜a，

令f′（x）＜0，則a＜x＜1，

∴f（x）在[0，a]遞增，在[a，1]遞減，在[1，2a]遞增，

∴f（x）min=f（1）=2﹣3（a+1）+6a=﹣a2，

解得：a= 與 ＜a＜1矛盾，

綜上，符合題意的a的值是4

【解析】（1）求出函數的導數，根據3是函數y=f（x）的極值點，得到關于a的方程，解出a，求出f（x）的解析式，從而求出切線方程即可；（2）求出函數的導數，通過討論a的范圍，得到函數f（x）的最小值，求出對應的a的值即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數的最大(小)值與導數的相關知識，掌握求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．