Question

已知等差數列{a_n}中，公差d＞0，又a₂•a₃=45，a₁+a₄=14
（I）求數列{a_n}的通項公式；
（II）記數列b_n=

1

an•an+1

，數列{b_n}的前n項和記為S_n，求S_n．

Answer 1

（I）∵等差數列{a_n}中，公差d＞0，a₂•a₃=45，a₁+a₄=14，
∴

(a1+d)(a1+2d)=45 a1+a1+3d=14

，
解得

a1=1 d=4

，或

a1=13 d=-4

（舍），
∴a_n=a₁+（n-1）d=1+4（n-1）=4n-3．
（II）∵a_n=4n-3，
∴b_n=

1

an•an+1

=

1

(4n-3)(4n+1)

=

1

4

（

1

4n-3

-

1

4n+1

），
∴數列{b_n}的前n項和：
S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n
=

1

4

(1-

1

5

)+

1

4

(

1

5

-

1

9

)+

1

4

(

1

9

-

1

13

)+…+

1

4

(

1

4n-3

-

1

4n+1

)
=

1

4

(1-

1

4n-1

)
=

2n-1

8n-2

．