Question

【題目】已知函數．

（1）若，求函數的最大值；

（2）令，討論函數的單調區間；

（3）若，正實數滿足，證明：

Answer 1

【答案】（1）的最大值為；（2）當時，函數的遞增區間是，無遞減區間，當時，函數的遞增區間是，遞減區間是；（3）證明見解析.

【解析】

試題對于問題（１）根據條件先求出的值，再對求導，并判斷其單調性，進而得出函數的最大值；對于問題（2），首先對進行求導，然后再對參數進行分類討論，即可得出不同情況下的單調區間；對于問題（3）可通過構造函數并結合函數的單調性將問題進行等價轉化，從而間接證明所需證明的結論.

試題解析：（１）因為，所以，此時，，

由，得，所以在上單調遞增，在上單調遞減，

故當時函數有極大值，也是最大值，所以的最大值為

（2），

所以．

當時，因為，所以．

所以在上是遞增函數，

當時，，

令，得，所以當時，，當時，，

因此函數在是增函數，在是減函數．

綜上，當時，函數的遞增區間是，無遞減區間；

當時，函數的遞增區間是，遞減區間是

（3）當，．

由，即，

從而

令，則由得，．

可知，在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，所以，

所以，因為，

因此成立