【題目】已知定義在
上的函數
，其中
，e為自然對數的底數.
（1）求證：
有且只有一個極小值點；
（2）若不等式
在上恒成立，求實數a的取值范圍.
【答案】（1）證明見解析；（2）
.
【解析】
（1）
知，
遞增，由
和
，根據零點存在定理則可證.
（2）由
探求出，轉化為證明當，
在
上恒成立，令
進一步轉化為
，再證明該不等式右邊恒大于等于0即可.
（1）證明：由于，，
則
在上單調遞增.
令
，則
，
故當
時，
，
單調遞減；
當
時，
，單調遞增；
則
，即
.
由于
，
，
故
，使得
，且當
時，
，
單調遞減；
當
時，
，單調遞增；
因此在有且只有一個極小值點
，無極大值點.
（2）解：由于不等式在上恒成立，
（i）必要性，當
時，不等式成立，即
，
令
，
，
由于
，則
在上單調遞增，
又由于
，則的解為，
（ii）充分性，下面證明當時，在上恒成立，
令，
由于，
，
，
，
則，
令
，則
，
故
，
在上單調遞增.
由于
，則當
時，
，
單調遞減；
當
時，
，單調遞增；
故
，即
恒成立，
因此，當時，在上恒成立.
100分闖關期末沖刺系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
（
是自然對數的底數，
）.
（1）求函數
的圖象在
處的切線方程；
（2）若函數
在區間
上單調遞增，求實數
的取值范圍；
（3）若函數
在區間
上有兩個極值點
，且
恒成立，求滿足條件的
的最小值（極值點是指函數取極值時對應的自變量的值）.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】新冠肺炎疫情造成醫用防護服緊缺，當地政府決定為防護服生產企業A公司擴大生產提供
（萬元）的專項補貼，并以每套80元的價格收購其生產的全部防護服.A公司在收到政府x（萬元）補貼后，防護服產量將增加到
（萬件），其中k為工廠工人的復工率
，A公司生產t萬件防護服還需投入成本
（萬元）.
（1）將A公司生產防護服的利潤y（萬元）表示為補貼x（萬元）的函數；
（2）對任意的
（萬元），當復工率k達到多少時，A公司才能不產生虧損？（精確到0.01）
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【題目】已知橢圓C：
1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1，F2，橢圓的焦距為2c，過C外一點P(c,2c)作線段PF1，PF2分別交橢圓C于點A、B，若|PA|＝|AF1|，則
_____.
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【題目】已知A是拋物線E：y2＝2px(p>0)上的一點，以點A和點B(2,0)為直徑兩端點的圓C交直線x＝1于M，N兩點.
（1）若|MN|＝2，求拋物線E的方程；
（2）若0＜p＜1，拋物線E與圓(x﹣5)2+y2=9在x軸上方的交點為P，Q，點G為PQ的中點，O為坐標原點，求直線OG斜率的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】根據以往統計資料，某地車主購買甲種保險的概率為0．5，購買乙種保險但不購買甲種保險的概率為0．3．設各車主購買保險相互獨立．
（1）求該地1位車主至少購買甲、乙兩種保險中的1種的概率；
（2）X表示該地的100位車主中，甲、乙兩種保險都不購買的車主數，求X的均值和方差．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】瑞士著名數學家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直線上.這條直線被后人稱為三角形的“歐拉線”.在平面直角坐標系中作
，中，
，點
，點
，且其“歐拉線”與圓
相切，則該圓的直徑為（ ）
A.1B.
C.2D.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某市教育與環保部門聯合組織該市中學參加市中學生環保知識團體競賽，根據比賽規則，某中學選拔出8名同學組成參賽隊，其中初中學部選出的3名同學有2名女生；高中學部選出的5名同學有3名女生，競賽組委會將從這8名同學中隨機選出4人參加比賽.
（Ⅰ）設“選出的4人中恰有2名女生，而且這2名女生來自同一個學部”為事件
,求事件的概率
；
（Ⅱ）設
為選出的4人中女生的人數，求隨機變量的分布列和數學期望.
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