Question

已知橢圓E的中心在坐標原點、對稱軸為坐標軸，且拋物線x²＝－4y的焦點是它的一個焦點，又點A(1，)在該橢圓上.

(1)求橢圓E的方程；

(2)若斜率為的直線l與橢圓E交于不同的兩點B、C，當△ABC的面積最大時，求直線l的方程.

Answer 1

(1)由已知拋物線的焦點為(0，－)，故設橢圓方程為＋＝1(a>).

將點A(1，)代入方程得＋＝1，

整理得a⁴－5a²＋4＝0，得a²＝4或a²＝1(舍)，

故所求橢圓方程為＋＝1.

(2)設直線BC的方程為y＝x＋m，

設B(x₁，y₁)，C(x₂，y₂)，

代入橢圓方程并化簡得4x²＋2mx＋m²－4＝0，

由Δ＝8m²－16(m²－4)＝8(8－m²)>0，

可得0≤m²<8.(*)

由x₁＋x₂＝－m，x₁x₂＝，

故|BC|＝|x₁－x₂|＝.

又點A到BC的距離為d＝，

故S_△ABC＝|BC|·d＝

≤·＝，

當且僅當2m²＝16－2m²，即m＝±2時取等號(滿足(*)式)，此時直線l的方程為y＝x±2.