Question

已知橢圓E的中心在坐標原點，焦點在坐標軸上，且經過A（-2，0）、B（2，0）、C(1，

3

2

)三點．
（1）求橢圓E的方程；
（2）若點D為橢圓E上不同于A、B的任意一點，F(xiàn)（-1，0），H（1，0），當△DFH內切圓的面積最大時，求內切圓圓心的坐標；
（3）若直線l：y=k（x-1）（k≠0）與橢圓E交于M、N兩點，證明直線AM與直線BN的交點在定直線上并求該直線的方程．

Answer 1

分析：（1）設橢圓方程為mx²+ny²=1（m＞0，n＞0），將A（-2，0）、B（2，0）、C(1，

3

2

)代入橢圓E的方程，得到關于m，n的方程組，即可解得 m=

1

4

，n=

1

3

．最后寫出橢圓E的方程

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）先設△DFH邊上的高為h，由于 S△DFH=

1

2

×2×h=h，得到當點D在橢圓的上頂點時，h最大為

3

，再設△DFH的內切圓的半徑為R，因為△DFH的周長為定值6．所以

1

2

R×6=S△DFH，從而救是R的最大值，從而解決問題．
（3）將直線l：y=k（x-1）代入橢圓E的方程

x2

4

+

y2

3

=1并整理．得（3+4k²）x²-8k²x+4（k²-3）=0．設直線l與橢圓E的交點M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由根系數的關系，求得P，Q的坐標，下面證明P、Q兩點重合，即證明P、Q兩點的縱坐標相等．

解答：解：（1）設橢圓方程為mx²+my²=1（m＞0，n＞0），將A（-2，0）、B（2，0）、C(1，

3

2

)代入橢圓E的方程，得

4m=1 m+ 9 4 n=1

解得m=

1

4

，n=

1

3

．∴橢圓E的方程

x2

4

+

y2

3

=1（4分）
（2）|FH|=2，設△DFH邊上的高為S△DFH=

1

2

×2×h=h
當點D在橢圓的上頂點時，h最大為

3

，所以S_△DFH的最大值為

3

．
設△DFH的內切圓的半徑為R，因為△DFH的周長為定值6．所以

1

2

R×6=S△DFH，
所以R的最大值為

3

3

．所以內切圓圓心的坐標為(0，±

3

3

)（10分）
（3）將直線l：y=k（x-1）代入橢圓E的方程

x2

4

+

y2

3

=1并整理．
得（3+4k²）x²-8k²x+4（k²-3）=0．
設直線l與橢圓E的交點M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由根系數的關系，得x1+x2=

8k2

3+4k2

，x1x2=

4(k2-3)

3+4k2

．
直線AM的方程為：y=

y1

x1+2

(x+2)，它與直線x=4的交點坐標為p(4，

6y1

x1+2

)，
同理可求得直線BN與直線x=4的交點坐標為Q(4，

2y2

x2-2

)．
下面證明P、Q兩點重合，即證明P、Q兩點的縱坐標相等：
∵y₁=k（x₁-1），y₂=k（x₂-1），
∴

6y1

x1+2

-

2y2

x2-2

=

6k(x1-1)(x2-2)-2k(x2-1)(x1+2)

(x1+2)(x2-2)

=

2k[2x1x2-5(x1+x2)+8]

(x1+2)(x2-2)

=

2k[ 8(k2-3) 3+4k2 - 40k2 3+4k2 +8]

(x1+2)(x2-2)

=0
因此結論成立．
綜上可知．直線AM與直線BN的交點在直線x=4上．（16分）

點評：本題主要考查橢圓的標準方程、橢圓的簡單性質．解答的關鍵是將點的坐標代入方程，利用待定系數法求解．