Question

拋物線y²=2px（p＞0）的準線方程為x=-2，該拋物線上的點到其準線的距離與到定點N的距離都相等，以N為圓心的圓與直線
l₁：y=x和l₂：y=-x都相切．
（Ⅰ）求圓N的方程；
（Ⅱ）是否存在直線l同時滿足下列兩個條件，若存在，求出的方程；若不存在請說明理由．
①l分別與直線l₁和l₂交于A、B兩點，且AB中點為E（4，1）；
②l被圓N截得的弦長為2．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據拋物線y²=2px的準線的方程為x=-2，可得p=4，再根據拋物線的定義可求出定點N的坐標，從而求出圓N的方程；
（Ⅱ）假設存在直線l滿足兩個條件，顯然l斜率存在，設l的方程為y-1=k（x-4）（k≠±1），以N為圓心，同時與直線l₁：y=x和l₂：y=-x相切的圓N的半徑為 ，因為l被圓N截得的弦長為2，所以圓心到直線的距離等于1，由此入手能夠推導出不存在滿足條件的直線l．
解答：解：（Ⅰ）因為拋物線y²=2px的準線的方程為x=-2，
所以p=4，根據拋物線的定義可知點N是拋物線的焦點，則定點N的坐標為（2，0）．
所以 圓N的方程（x-2）²+y²=2．                              （3分）
（Ⅱ）假設存在直線l滿足兩個條件，顯然l斜率存在，
設l的方程為y-1=k（x-4），（k≠±1），
以N為圓心，同時與直線l₁：y=x和l₂：y=-x相切的圓N的半徑為，（5分）
因為l被圓N截得的弦長為2，所以圓心到直線的距離等于1，
即，解得，
當k=0時，顯然不合AB中點為E（4，1）的條件，矛盾！
當時，l的方程為4x-3y-13=0，（7分）
由，解得點A坐標為（13，13），
由，解得點B坐標為，
顯然AB中點不是E（4，1），矛盾！
所以不存在滿足條件的直線l．        （10分）
點評：本題的考點是圓與圓錐曲線的綜合，主要考查直線和圓錐曲線的綜合運用，考查存在性問題的探究，具有一定的難度，注意合理地進行等價轉化是解題的關鍵．