Question

【題目】（本小題滿分14分）已知函數．

（Ⅰ）求函數的單調區間；

（Ⅱ）若存在兩條直線，都是曲線的切線，求實數的取值范圍；

（Ⅲ）若，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）；．（Ⅲ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ），對a進行分類討論：當時，，則函數的單調遞減區間是．當時，令，得．的單調遞減區間是，單調遞增區間是；（Ⅱ）因為 存在兩條直線，都是曲線的切線，

所以 至少有兩個不等的正實根，令得，記其兩個實根分別為．

則 解得．再說明當時，曲線在點處的切線分別為，是兩條不同的直線即可；（Ⅲ）只需分類討論．

試題解析：（Ⅰ）． 1分

當時，，則函數的單調遞減區間是． 2分

當時，令，得．

當變化時，，的變化情況如下：

	↘	極小值	↗

所以 的單調遞減區間是，單調遞增區間是． 4分

（Ⅱ）因為 存在兩條直線，都是曲線的切線，

所以 至少有兩個不等的正實根． 5分

令得，記其兩個實根分別為．

則 解得． 7分

當時，曲線在點處的切線分別為，．

令．

由得（不妨設），且當時，，即在上是單調函數．

所以 ．

所以 ，是曲線的兩條不同的切線．

所以 實數的取值范圍為． 9分

（Ⅲ）當時，函數是內的減函數．

因為 ，

而，不符合題意． 11分

當時，由（Ⅰ）知：的最小值是．

（ⅰ）若，即時，，

所以，符合題意．

（ⅱ）若，即時，．

所以，符合題意．

（ⅲ）若，即時，有．

因為 ，函數在內是增函數，

所以 當時，．

又因為 函數的定義域為，

所以 ．

所以 符合題意．

綜上所述，實數的取值范圍為． 14分