Question

【題目】設函數(shù).

（1）若是的極大值點，求的取值范圍；

（2）當，時，方程（其中）有唯一實數(shù)解，求的值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由題意，求得函數(shù)的導數(shù)得到，分類討論得到函數(shù)的單調(diào)性和極值，即可求解實數(shù)的取值范圍；

（2）因為方程有唯一實數(shù)解，即有唯一實數(shù)解，設，利用導數(shù)，令，得，由此入手即可求解實數(shù)m的值．

（1）由題意，函數(shù)的定義域為，則導數(shù)為

由，得，∴

①若，由，得.

當時，，此時單調(diào)遞增；

當時，，此時單調(diào)遞減.

所以是的極大值點

②若，由，得，或.

因為是的極大值點，所以，解得

綜合①②：的取值范圍是

（2）因為方程有唯一實數(shù)解，所以有唯一實數(shù)解

設，則，

令，即.

因為，，所以（舍去），

當時，，在上單調(diào)遞減，

當時，，在單調(diào)遞增

當時，，取最小值

則，即，

所以，因為，所以（*）

設函數(shù)，

因為當時，是增函數(shù)，所以至多有一解

因為，所以方程（*）的解為，即，解得