Question

如圖所示，在三棱柱中，，，點分別是的中點．
 
(1)求證：平面∥平面；
(2)求證：平面⊥平面；
（3）若，，求異面直線所成的角。

Answer 1

(1) 詳見解析(2) 詳見解析(3)詳見解析

試題分析：（1）根據平面幾何可證,可證得面面垂直；（2）根據D是AB的中點，可證面，證得面面垂直；（3）異面直線所成的角，轉化成相交直線所成的角，然后在所在三角形內解決角的問題.

試題解析：解：（1）證明：在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，∵點D，D₁分別是AB，A₁B₁的中點，D₁B₁AD∴四邊形ADB₁D₁為平行四邊形∴AD₁∥DB₁∵AD₁平面CDB₁∴AD₁//平面CDB₁,同理可證C₁D₁∥平面CDB₁∵AD1D₁C₁=D₁∴平面AC₁D₁∥平面CDB    4分
(2)證明：∵AA₁⊥平面ABC，CD平面ABC∴AA₁⊥CD。∵AC=BC
D是AB的中點∴CD⊥AB∵AA₁AB=A∴CD⊥平面ABB₁A₁
∵CD平面ABC∴平面CDB₁⊥平面ABB₁A₁    9分
（3）連接BC1交B1C于E，連接DE，取AA1中點F，連接EF，又∵D是AB中點，∴AC1 ∥DE,DF∥A1B ∴ ∠EDF是異面直線所成的角。設AC=1DE=，DF=，EF∴DE²+ DF²= EF²∴∠EDF=90^O∴異面直線所成的角為90^O。13分
也可能證明   也可得異面直線所成的角為90^O    13分