Question

【題目】已知函數(shù)（為常數(shù)），其圖像是曲線.

（1）設(shè)函數(shù)的導函數(shù)為，若存在三個實數(shù)，使得與同時成立，求實數(shù)的取值范圍；

（2）已知點為曲線上的動點，在點處作曲線的切線與曲線交于另一點，在點處作曲線的切線，設(shè)切線的斜率分別為，問：是否存在常數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】試題分析：（1）由于存在唯一的實數(shù)，使得與同時成立，則，存在唯一的實數(shù)根，即存在唯一的實數(shù)根，就把問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題；（2）假設(shè)存在常數(shù)，依據(jù)曲線在點處的切線與曲線交于另一點，曲線在點處的切線，得到關(guān)于的方程，有解則存在，無解則不存在.

試題解析：（1），由題意知，消去，得有三解.令，則，分析單調(diào)性，可知，即

（2）設(shè)，則點處切線方程為，

與曲線： 聯(lián)立方程組，得，即，所以點的橫坐標．由題意知，，，若存在常數(shù)，使得，則，即常數(shù)使得，所以，解得．故當時，存在常數(shù)，使得；當時，不存在常數(shù)使得．