Question

【題目】已知橢圓 ： （ ）的離心率為 ， 為橢圓 上位于第一象限內的一點.

（1）若點 的坐標為 ，求橢圓 的標準方程；

（2）設 為橢圓 的左頂點， 為橢圓 上一點，且 ，求直線 的斜率.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

試題分析：

（1）由橢圓的離心率為得到，再根據點在橢圓上得到，由以上兩式可得，從而可得橢圓的方程。（2）由題意可得橢圓的方程為，設直線 的方程為 （ ），,解方程組可得，同樣可求得，根據可得，由解得后即可得到直線的斜率。

試題解析：

（1）∵橢圓的離心率為，

∴，

∴ ，

∴ ①

∵點在橢圓上，

∴②

由①②解得 ， ，

∴橢圓的方程為。

（2）由（1）可知 ，即

∴橢圓的方程為，即，

∴點，

設直線 的方程為 （ ），,

由 解得，

∵，

∴。

∵ ，∴ ，

于是設直線的方程為（ ）

由 消去整理得

，

解得 或（舍去）

∴ 。

又，

∴ ，

∴ ，即，

∴ （ ）

解得，

∴。

即直線的斜率為。