Question

【題目】已知多面體ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC為等邊三角形，邊長(zhǎng)為2，AA1⊥平面ABC，四邊形A1ACC1為直角梯形，CC1與平面ABC所成的角為 ，AA1=1

（1）若P為AB的中點(diǎn)，求證：A1P∥平面BC1C；
（2）求二面角A1﹣BC1﹣C的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AA1⊥平面ABC，AA1平面A1ACC1，

∴平面A1ACC1⊥平面ABC，

過C1作C1D⊥AC于D，∵平面A1ACC1∩平面ABC=AC，∴C1D⊥平面ABC，

∴CD是CC1在平面ABC內(nèi)的射影，

∴∠C1CD是CC1與平面ABC所成角，∴ ，

∴CD=C1D=AD=A1C1=1，

取BC中點(diǎn)F，連結(jié)PF，由題意得PF∥AC，且PF= AC，

又A1C1∥AC，A1C1= ，∴A1C1∥PF，且A1C1=PF，

∴四邊形A1C1PF為平行四邊形，∴A1P∥C1F，

∵C1F平面BC1C，A1P平面BC1C，

∴A1P∥平面BC1C．

（2）解：連結(jié)BD，以D為原點(diǎn)，分別以DB，DC，DC1為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則A1（0，﹣1，1），B（ ），C1（0，0，1），C（0，1，0），

∴ =（0，1，0）， =（ ），

設(shè)平面A1BC1的一個(gè)法向量為 =（x，y，z），

則 ，取x=1，得 =（1，0， ），

=（﹣ ，1，0）， =（﹣ ，0，1），

設(shè)平面BC1C的一個(gè)法向量 =（a，b，c），

則 ，取a=1，得 =（1， ， ），

cos＜ ， ＞= = = ，

根據(jù)圖形得二面角A1﹣BC1﹣C的產(chǎn)面角為鈍角，

∴二面角A1﹣BC1﹣C的余弦值為﹣ ．

【解析】（1）推導(dǎo)出平面A1ACC1⊥平面ABC，過C1作C1D⊥AC于D，則C1D⊥平面ABC，∠C1CD是CC1與平面ABC所成角，取BC中點(diǎn)F，推導(dǎo)出四邊形A1C1PF為平行四邊形，從而A1P∥C1F，由此能證明A1P∥平面BC1C．（2）連結(jié)BD，以D為原點(diǎn)，分別以DB，DC，DC1為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角A1﹣BC1﹣C的余弦值．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了直線與平面平行的判定的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡(jiǎn)記為：線線平行，則線面平行才能正確解答此題．