Question

【題目】已知，為橢圓上的兩點，滿足，其中，分別為左右焦點.

（1）求的最小值；

（2）若，設直線的斜率為，求的值.

Answer 1

【答案】（1）2；（2）.

【解析】

（1）由,當位于橢圓的上下頂點時,即可求解；

（2）先由可得,再由可得是兩個直角三角形和的公共斜邊,即可得線段中點的橫坐標為,設直線的方程為,與橢圓方程聯立,可得,,,進而利用整理后即可求解.

解:（1）因為（為坐標原點）,

顯然,

所以的最小值為2.

（2）因為,,且,

所以,

又,所以是兩個直角三角形和的公共斜邊,即得線段的中點到,兩點的距離相等,

因為,所以線段中點的橫坐標為,

設直線的方程為,聯立橢圓方程,得,

設,,則,

又因為,

所以（1）

又,,

因為,即,得,

即（2）

由（1）（2）,得,解得.