【題目】(本小題13分)已知函數f(x)＝
－
(a>0，x>0)．
(1)求證：f(x)在(0，＋∞)上是單調遞增函數；
(2)若f(x)在[
，2]上的值域是[
，2]，求a的值．
【答案】(1)證明：見解析；(2) a＝
.
【解析】本事主要是考查了函數的單調性和函數值域的求解的綜合運用。
（1）先分析函數的定義域內任意兩個變量，代入函數解析式中作差，然后變形定號，下結論。
（2）∵f(x)在[
，2]上的值域是[
，2]，那么可知又f(x)在[
，2]上單調遞增，可知最大值和最小值在端點值取得求解得到參數a的值。
解：(1)證明：設x2>x1>0，則x2－x1>0，x1x2>0.
∵f(x2)－f(x1)＝(
－
)－( 
－
)＝
－
＝
>0，
∴f(x2)>f(x1)，∴f(x)在(0，＋∞)上是單調遞增的．………………6分
(2)∵f(x)在[，2]上的值域是[，2]，
又f(x)在[，2]上單調遞增，∴f(
)＝
，f(2)＝2，
易得a＝. ………………13分
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知向量
， 
，設函數
.
（1）求函數
的最小正周期；
（2）已知
分別為三角形
的內角對應的三邊長， 
為銳角， 
， 
，且
恰是函數
在
上的最大值，求
和三角形
的面積.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，已知曲線
： 
，以平面直角坐標系
的原點
為極點， 
軸的正半軸為極軸，取相同的單位長度建立極坐標系，已知直線
： 
.
（1）將曲線
上的所有點的橫坐標、縱坐標分別伸長為原來的
、2倍后得到曲線
，求
的參數方程；
（2）在曲線
上求一點
，使點
到直線
的距離最大，并求出此最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在△ABC中，BA=BC，以AB為直徑的⊙O分別交AC、BC于點D、E，BC的延長線于⊙O的切線AF交于點F．
（1）求證：∠ABC=2∠CAF；
（2）若
，CE∶EB=1∶4，求CE的長．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設集合A＝{x|(x－3)(x＋a)<0，a∈R}，集合B＝{x∈Z|x2－3x－4<0}．
(1)若A∩B的子集個數為4，求a的范圍；
(2)若a∈Z，當A∩B≠
時，求a的最小值，并求當a取最小值時A∪B.
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【題目】已知橢圓
的離心率為
，以原點
為圓心，橢圓
的長半軸長為半徑的圓與直線
相切．
（Ⅰ）求橢圓
的標準方程；
（Ⅱ）已知點
，
為動直線
與橢圓
的兩個交點，問：在
軸上是否存在定點
，使得
為定值？若存在，試求出點
的坐標和定值；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某保險公司有一款保險產品的歷史收益率（收益率
利潤
保費收入）的頻率分布直方圖如圖所示：
（1）試估計這款保險產品的收益率的平均值；
（2）設每份保單的保費在20元的基礎上每增加
元，對應的銷量為
（萬份）．從歷史銷售記錄中抽樣得到如下5組
與
的對應數據：
| 25 | 30 | 38 | 45 | 52 |
銷量為 | 7.5 | 7.1 | 6.0 | 5.6 | 4.8 |
由上表，知
與
有較強的線性相關關系，且據此計算出的回歸方程為
．
（ⅰ）求參數
的值；
（ⅱ）若把回歸方程
當作
與
的線性關系，用（1）中求出的收益率的平均值作為此產品的收益率，試問每份保單的保費定為多少元時此產品可獲得最大利潤，并求出最大利潤．注：保險產品的保費收入
每份保單的保費
銷量．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】定義在
上的函數
滿足：
對任意
、
恒成立，當
時，
.
（1）求證
在
上是單調遞增函數；
（2）已知
，解關于
的不等式
；
（3）若
，且不等式
對任意
恒成立.求實數
的取值范圍.
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