Question

【題目】在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，且AB=AA1 ， ∠A1AB=∠A1AD=60°．

（1）求證：平面A1BD⊥平面A1AC；
（2）若BD= D=2，求平面A1BD與平面B1BD所成角的大小．

Answer 1

【答案】
（1）證明：因為AA1=AB=AD，∠A1AB=∠A1AD=60°，

所以△A1AB和△A1AD均為正三角形，

于是A1B=A1D

設AC與BD的交點為O，則A1O⊥BD

又ABCD是菱形，所以AC⊥BD

而A1O∩AC=O，所以BD⊥平面A1AC

而BD平面A1BD，故平面A1BD⊥平面A1AC

（2）解：由A1B=A1D及 ，知A1B⊥A1D

又由A1D=AD，A1B=AB，BD=BD，得△A1BD≌△ABD，故∠BAD=90°

于是 ，從而A1O⊥AO，結合A1O⊥BD

得A1O⊥底面ABCD

如圖，以O為原點，OA，OB，OA1所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，

則A（1，0，0），B（0，1，0），D（0，﹣1，0），A1（0，0，1），

，

設平面B1BD的一個法向量為 ，由 得 ，

令x=1，得

平面A1BD的一個法向量為 ，設平面A1BD與平面B1BD所成角為θ，

則

解得θ=45°，

故平面A1BD與平面B1BD所成角的大小為45°．

【解析】（1）推導出△A1AB和△A1AD均為正三角形，A1O⊥BD，AC⊥BD，由此能證明平面A1BD⊥平面A1AC．（2）以O為原點，OA，OB，OA1所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出平面A1BD與平面B1BD所成角的大小．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用平面與平面垂直的判定的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．