Question

【題目】已知f（x）=（x2﹣3）ex（其中x∈R，e是自然對數的底數），當t1＞0時，關于x的方程[f（x）﹣t1][f（x）﹣t2]=0恰好有5個實數根，則實數t2的取值范圍是（ ）
A.（﹣2e，0）
B.（﹣2e，0]
C.[﹣2e，6e﹣3]
D.（﹣2e，6e﹣3）

Answer 1

【答案】D
【解析】解：f（x）=（x2﹣3）ex的導數為 f′（x）=（x2+2x﹣3）ex=（x﹣1）（x+3）ex ，
當﹣3＜x＜1時，f′（x）＜0，f（x）遞減；
當x＞1或x＜﹣3時，f′（x）＞0，f（x）遞增．
可得f（x）的極小值為f（1）=﹣2e，極大值為f（﹣3）=6e﹣3 ，
作出y=f（x）的圖象，如圖：
當t1＞0時，關于x的方程[f（x）﹣t1][f（x）﹣t2]=0
恰好有5個實數根，
即為f（x）=t1或f（x）=t2恰好有5個實數根，
若t1＞6e﹣3 ， f（x）=t1只有一個實根，不合題意；
若0＜t1＜6e﹣3 ， f（x）=t1有三個實根，只要﹣2e＜t2≤0，滿足題意；
若t1=6e﹣3 ， f（x）=t1有兩個實根，只要0＜t2＜6e﹣3 ， 滿足題意；
綜上可得，t2的范圍是（﹣2e，6e﹣3）．
故選：D．