Question

（Ⅰ）求過l₁：3x+4y-2=0與l₂：2x+y+2=0的交點，且平行于直線x-2y+3=0的直線的方程；
（Ⅱ）求垂直于直線x+3y-5=0，且與點P（-1，0）的距離是

3

5

10

的直線的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由所求直線過l₁與l₂的交點，故聯立直線l₁與l₂的方程，求出交點坐標，然后再根據所求直線與直線x-2y+3=0平行，根據兩直線平行時斜率相等，由已知直線的斜率得到所求直線的斜率，由求出的交點和斜率寫出方程即可；
（Ⅱ）由所求直線與已知直線垂直，根據兩直線垂直時斜率的乘積為-1，由已知直線的斜率得出所求直線的斜率，然后由求出的斜率設出所求直線的方程，根據點到直線的距離公式列出方程，求出方程的解即可確定出所求直線的方程．

解答：解：（Ⅰ）聯立直線l₁與l₂得：

3x+4y-2=0 2x+y+2=0

，
解得：

x=-2 y=2

，
∴直線l₁與l₂的交點為（-2，2），
∵所求直線與直線x-2y+3=0平行，且直線x-2y+3=0的斜率為

1

2

，
∴所求直線的斜率為

1

2

，
所求直線為：y-2=

1

2

（x+2），即x-2y+6=0；
（Ⅱ）∵所求直線與直線x+3y-5=0垂直，且直線x+3y-5=0的斜率為-

1

3

，
∴所求直線的斜率為3，
設所求直線方程為y=3x+b，
所以點P（-1，0）到所求直線的距離d=

|-3+b|

32+(-1)2

=

3

5

10

，
化簡得：-3+b=6或-3+b=-6，
解得：b=9或b=-3，
則所求直線的方程為：y=3x+9或y=3x-3，即3x-y+9=0或3x-y-3=0．

點評：此題考查了兩直線的交點坐標，點到直線的距離公式，以及直線的一般式方程，要求學生掌握兩直線平行、垂直時，斜率分別滿足的關系，會根據一點坐標和斜率寫出直線的方程，本題的第二小問有兩解，都滿足題意，學生做題時注意不要漏解．