已知橢圓
的離心率與雙曲線
的離心率互為倒數，直線
與以原點為圓心，以橢圓
的短半軸長為半徑的圓相切.
（1）求橢圓
的方程；
（2）設橢圓的左焦點為
，右焦點為
，直線
過點
且垂直于橢圓的長軸，動直線
垂直
于點
，線段
垂直平分線交
于點
，求點
的軌跡
的方程；
（3）設第（2）問中的與
軸交于點
，不同的兩點
在
上，且滿足
,求
的取值范圍.
（1）
；（2）
（3）
【解析】
試題分析：（1）雙曲線的離心率為
，所以橢圓的離心率為
。根據題意原點到直線
的距離為
，又因為
可解得
。（2）由題意知
即點
到直線
，和到點
的距離相等，根據橢圓的定義可知點的軌跡是以為焦點以直線為準線的拋物線。（3）由
的方程為知
設
，根據
得出
的關系，用兩點間距離求
，再用配方法求最值。
試題解析：解（1）易知：雙曲線的離心率為，
，
即
， 1分
又由題意知：
， 2分
橢圓
的方程為. 3分
（2）
動點
到定直線
的距離等于它到定點
的距離 5分
動點
的軌跡是以
為準線，
為焦點的拋物線， 6分
點
的軌跡的方程為. 7分
（3）由（2）知：,設，
則
， 8分
， 9分
由
，左式可化簡為：
， 10分
，
當且僅當
，即
時取等號， 11分
又
，
當
，即
時，
， 13分
故
的取值范圍是. 14分
考點：1橢圓的標準方程；2拋物線的定義；3函數值域。
科目：高中數學 來源：2015屆河北邯鄲高二上學期期末考試理科數學試卷（解析版） 題型：選擇題
已知橢圓
的離心率
，右焦點為
，方程
的兩個實根
，
，則點
（ ）
A．必在圓
內 B．必在圓
上
C．必在圓外 D．以上三種情況都有可能
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科目：高中數學 來源：2015屆江西贛州四所重點中學高二上學期期末聯考文數學試卷（解析版） 題型：選擇題
如圖所示，程序框圖輸出的所有實數對(x, y)所對應的點都在函數（ ）
A．y＝x＋1的圖象上
B．y＝2x的圖象上
C．y＝2x的圖象上
D．y＝2x－1的圖象上
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科目：高中數學 來源：2015屆江西贛州六校高二上學期期末聯考理科數學試卷（解析版） 題型：解答題
已知離心率為
的橢圓
(
) 過點
(1)求橢圓
的方程;
(2)過點
作斜率為
直線
與橢圓相交于
兩點，求
的長.
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科目：高中數學 來源：2015屆江西贛州六校高二上學期期末聯考理科數學試卷（解析版） 題型：選擇題
如圖所示
方格，在每一個方格中填入一個數字，數字可以是
中的任何一個，允許重復，則填入
方格的數字大于
方格的數字的概率為（ ）
A．
B．
C．
D．
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