Question

【題目】已知定義在R上的奇函數f（x）且滿足f（1+x）=-f（3-x），且f（1）≠0，若函數g（x）=x6+f（1）cos4x-3有且只有唯一的零點，則f（2018）+f（2019）=（　　）

A. 1 B. C. D. 3

Answer 1

【答案】C

【解析】

根據題意，由f（1+x）=-f（3-x）變形可得f（x）=-f（4-x），由函數的奇偶性可得f（x）=-f（-x），綜合可得-f（-x）=-f（4-x），即f（x）=f（x+4），即函數f（x）為周期為4的周期函數，據此可得f（2）=f（-2），且f（-2）=-f（2），分析可得f（2）=-f（-2）=0；對于g（x）=x6+f（1）cos4x-3，由函數奇偶性的定義可得函數g（x）為偶函數，結合函數零點個數分析可得g（0）=f（1）-3=0，則f（1）=3，結合f（x）的周期性可得f（2018）與f（2019）的值，相加即可得答案．

根據題意，函數f（x）且滿足f（1+x）=-f（3-x），則有f（x）=-f（4-x），

又由f（x）為奇函數，則有f（x）=-f（-x），

則有-f（-x）=-f（4-x），即f（x）=f（x+4），

即函數f（x）為周期為4的周期函數，

則有f（2）=f（-2），且f（-2）=-f（2），

分析可得f（2）=-f（-2）=0，

對于g（x）=x6+f（1）cos4x-3，

有g（-x）=（-x）6+f（1）cos4（-x）-3=x6+f（1）cos4x-3=g（x），

即函數g（x）為偶函數，

若函數g（x）=x6+f（1）cos4x-3有且只有唯一的零點，

則必有g（0）=f（1）-3=0，則f（1）=3，

f（2018）=f（2+2016）=f（2）=0，

f（2019）=f（3+2016）=f（3）=f（-1）=-f（1）=-3，

則f（2018）+f（2019）=-3；

故選：C．