Question

某投資公司年初用萬元購置了一套生產設備并即刻生產產品，已知與生產產品相關的各種配套費用第一年需要支出萬元，第二年需要支出萬元，第三年需要支出萬元，……，每年都比上一年增加支出萬元，而每年的生產收入都為萬元．假設這套生產設備投入使用年，，生產成本等于生產設備購置費與這年生產產品相關的各種配套費用的和，生產總利潤等于這年的生產收入與生產成本的差. 請你根據這些信息解決下列問題：
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）若干年后，該投資公司對這套生產設備有兩個處理方案：
方案一：當年平均生產利潤取得最大值時，以萬元的價格出售該套設備；
方案二：當生產總利潤取得最大值時，以萬元的價格出售該套設備． 你認為哪個方案更合算？請說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）7; （Ⅱ）從投資收益的角度看，方案一比方案二更合算.

解析試題分析：1.由于文字敘述較長，很多考生對題意不甚了了，所建立的函數模型也是錯誤百出，從而導致本題的得分是很低的.2.第（Ⅰ）問中，很多考生在求的時候，都把等差數列的前項和錯誤理解為第項了，即.3.第（Ⅱ）問中，一些考生不理解“年平均生產利潤取得最大值”、“生產總利潤取得最大值”的含義，從而無法建立模型.4. 第（Ⅱ）問中，所建立的模型是對的，并且也求出了分別等于7和11，但之后就不知道應該選擇哪一個量作為標準，來判斷哪個方案更好.
試題解析：（Ⅰ）由題意知該公司這年需要支出與生產產品相關的各種配套費用是以為首項，為公差的等差數列的前項和．
∴.
由得，解得.
∵，∴，，，……，.
∴的解集為.
（Ⅱ）(1) 由已知得年平均生產利潤為.
∵,
“”成立，即,
∴當時，年平均生產利潤取得最大值，若執行方案一，總收益為（萬元）.
(2) ∵，，
∴當時，生產總利潤取得最大值，若執行方案二，總收益為
（萬元）.
∴無論執行方案一還是方案二，總收益都為萬元.
∵，∴從投資收益的角度看，方案一比方案二更合算.
注：第（Ⅱ）問答案不唯一，只要言之有理即可.
考點：閱讀和建模能力，運用函數、數列、均值不等式等知識和方法解決實際問題能力.