Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）=2x³-3ax²，其中a為常數(shù)．
（Ⅰ）若?x∈（-∞，1），f′（x）≥a恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）若x∈[0，1]，函數(shù)f（x）在x=0處取得最大值，求正數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）f′（x）=6x²-6ax，則f′（x）≥a化為6x²-6ax-a≥0，令g（x）=6x²-6ax-a，x∈（-∞，1），則問題轉化為g（x）_min≥0，按照對稱軸與區(qū)間的位置關系討論可求得g（x）_min；
（Ⅱ）f′（x）=6x（x-a），分a≥1，0＜a＜1兩種情況討論導數(shù)符號，由符號可判斷函數(shù)的單調性，根據(jù)單調性可得最大值情況，從而可得答案；

解答：解：（Ⅰ）∵f′（x）=6x²-6ax，
∴?x∈（-∞，1），f'（x）≥a⇒6x²-6ax-a≥0恒成立，
令g（x）=6x²-6ax-a，x∈（-∞，1），
當

a 2 ≤1 g( a 2 )≥0

或

a 2 ＞1 g(1)≥0

，即

a≤2 6×( a 2 )2-6a× a 2 -a≥0

或

a＞2 6-6a-a≥0

，
解得-

2

3

≤a≤0；
（Ⅱ）f′（x）=6x²-6ax=6x（x-a），
若a≥1時，對?x∈[0，1]，f′（x）≤0恒成立，
故f（x）在區(qū)間[0，1]上為減函數(shù)，在x=0處取到最大值．
若0＜a＜1時，f（x）在[0，a]上為減函數(shù)，[a，1]上為增函數(shù)，
則f(1)=2-3a≤f(0)=0⇒a≥

2

3

，
綜上所述：若x∈[0，1]，函數(shù)f（x）在x=0處取得最大值，
則正數(shù)a的取值范圍為a≥

2

3

．

點評：本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的最值，考查函數(shù)恒成立問題，考查轉化思想，考查學生分析問題解決問題的能力．