Question

（2012•焦作模擬）甲、乙兩位學生參加數學競賽培訓．現分別從他們在培訓期間參加的若干次預賽成績中隨機抽取8次．記錄如下：
甲：82 81 79 78 95 88 93 84
乙：92 95 80 75 83 80 90 85
（1）畫出甲、乙兩位學生成績的莖葉圖，指出學生乙成績的中位數；
（2）現要從中選派一人參加數學競賽，從平均狀況和方差的角度考慮，你認為派哪位學生參加合適？請說明理由；
（3）若將頻率視為概率，對學生甲在今后的三次數學競賽成績進行預測，記這三次成績中高于80分的次數為ξ，求ξ的分布列及數學期望Eξ．

Answer 1

分析：（1）由題設條件先作出莖葉圖，再求學生乙成績中位數．
（2）先分別求出

.

x甲

，

.

x乙

，S甲2，S乙2，由

.

x甲

=

.

x乙

，

S

甲

2＜S乙2，得到甲的成績比較穩定，派甲參加比較合適．
（3）記“甲同學在一次數學競賽中成績高于80分”為事件A，則P（A）=

6

8

=

3

4

，隨機變量ξ的可能取值為0，1，2，3，且ξ服從B（3，

3

4

），由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答：解：（1）莖葉圖如下：…（2分）
學生乙成績中位數為84，…（4分）
（2）派甲參加比較合適，理由如下：

.

x甲

=

1

8

(70×2+80×4+90×2+9+8+8+4+2+1+5+3)=85，

.

x乙

=

1

8

(70×1+80×4+90×3+5+3+5+3+5)=85，…（5分）
S甲2=

1

8

[(78-85)2+(79-85)2+(80-85)2+（83-85）²+（85-85）²+（90-85）²
+（92-85）²+（95-85）²]=35.5
S乙2=

1

8

[(75-85)2+(80-85)2+(80-85)2+（83-85）²+（85-85）²+（90-85）²
+（92-85）²+（95-85）²]=41，…（7分）
∵

.

x甲

=

.

x乙

，

S

甲

2＜S乙2，
∴甲的成績比較穩定，派甲參加比較合適．…（8分）
（3）記“甲同學在一次數學競賽中成績高于80分”為事件A，
則P（A）=

6

8

=

3

4

，…（9分）
隨機變量ξ的可能取值為0，1，2，3，
且ξ服從B（3，

3

4

），∴P（ξ=k）=

C

1 3

(

3

4

)3•(1-

3

4

)3-k，k=0，1，2，3，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	1 64	9 64	27 64	27 64

∴Eξ=np=3×

3

4

=

9

4

．

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和數學期望，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型．解題時要認真審題，仔細解答，注意排列組合和概率知識的靈活運用．