Question

【題目】如圖所示, 是圓柱的母線, 是圓柱底面圓的直徑, 是底面圓周上異于的任意一點, .

(1)求證: ；

(2)求三棱錐體積的最大值,并寫出此時三棱錐外接球的表面積.

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2) .

【解析】試題分析：（1）由圓柱易知平面，所以，由圓的性質易得，進而可證平面；

（2）由已知得三棱錐的高,當直角的面積最大時,三棱錐的體積最大,當點在弧中點時最大, 此時外接球的直徑即可得解.

試題解析：

(1)證明:∵已知是圓柱的母線,.∴平面

∵是圓柱底面圓的直徑, 是底面圓周上異于的任意一點,

∴,又,∴平面

又平面

(2)解:由已知得三棱錐的高,當直角的面積最大時,

三棱錐的體積最大,當點在弧中點時最大,

,

結合(1)可得三棱錐的外接球的直徑即為,

所以此時外接球的直徑.

.