Question

【題目】已知圓C：．

(1)求圓的圓心C的坐標和半徑長；

(2)直線l經過坐標原點且不與y軸重合，l與圓C相交于兩點，求證：為定值；

(3)斜率為1的直線m與圓C相交于D、E兩點，求直線m的方程，使的面積最大．

Answer 1

【答案】(1)圓心C的坐標為(－1，0)，圓的半徑長為2；(2)證明見解析； (3)

．

【解析】

試題（1）把圓的一般方程化為標準方程即可；（2）設出直線方程，聯立圓的方程，根據根與系數的關系化簡即可證出；（3）

試題解析：(1)配方得(x＋1)2＋y2＝4，則圓心C的坐標為(－1，0)(2分)，圓的半徑長為2；

(2)設直線l的方程為y＝kx，聯立方程組

消去y得(1＋k2)x2＋2x－3＝0(5分)，則有：

所以為定值.

(3)解法一　設直線m的方程為y＝kx＋b，則圓心C到直線m的距離，

所以，

≤，

當且僅當，即時，△CDE的面積最大

從而，解之得b＝3或b＝－1，

故所求直線方程為x－y＋3＝0或x－y－1＝0

解法二　由(1)知|CD|＝|CE|＝R＝2，

所以≤2，

當且僅當CD⊥CE時，△CDE的面積最大，此時

設直線m的方程為y＝x＋b，則圓心C到直線m的距離

由，得，

由，得b＝3或b＝－1，

故所求直線方程為x－y＋3＝0或x－y－1＝0.