Question

【題目】如圖，在四棱錐中，平面平面，，，．

（1）求證：；

（2）若為線段上的一點，，，，求平面與平面所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）設交于點，證明平面內的兩條相交直線即可得到線面垂直，再由線面垂直的性質，可證明線線垂直；

（2）找到三條兩兩互相垂直的直線，以為原點，以射線為軸，軸，軸正半軸建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，平面的法向量，求法向量夾角的余弦值，即可求得答案.

設交于點，，，所以，所以，在中，

且，得，即，

又平面平面，平面平面，平面，

所以平面，

又平面，所以

（2）平面平面，平面平面，平面，，所以平面，

以為原點，以射線為軸，軸，軸正半軸建立空間直角坐標系，，，，，,,

設平面的法向量為，則，

取，得

設平面的法向量為，

則，取，得，

設所求角為，則，

所求的銳二面角余弦值為