【題目】某服裝加工廠為了提高市場競爭力，對其中一臺生產設備提出了甲、乙兩個改進方案：甲方案是引進一臺新的生產設備，需一次性投資1000萬元，年生產能力為30萬件；乙方案是將原來的設備進行升級改造，需一次性投入700萬元，年生產能力為20萬件.根據市場調查與預測，該產品的年銷售量的頻率分布直方圖如圖所示，無論是引進新生產設備還是改造原有的生產設備，設備的使用年限均為6年，該產品的銷售利潤為15元/件（不含一次性設備改進投資費用）.
（1）根據年銷售量的頻率分布直方圖，估算年銷量的平均數
（同一組中的數據用該組區間的中點值作代表）；
（2）將年銷售量落入各組的頻率視為概率，各組的年銷售量用該組區間的中點值作年銷量的估計值，并假設每年的銷售量相互獨立.
①根據頻率分布直方圖估計年銷售利潤不低于270萬元的概率：
②若以該生產設備6年的凈利潤的期望值作為決策的依據，試判斷該服裝廠應選擇哪個方案.（6年的凈利潤=6年銷售利潤-設備改進投資費用）
【答案】（1）19.8萬件（2）①0.6 ②乙方案.
【解析】
（1）利用小矩形的中點乘以小矩形的面積之和，從而求得平均數；
（2）①由題意得只有當年銷售量不低于18萬件時年銷售利潤才不低于270萬，再從頻率分布直方圖中，估計年銷售利潤不低于270萬的概率；
②分別計算兩種方案6年的凈利潤的期望值，再比較大小，從而得到結論。
（1）年銷量的平均數
（萬件）.
（2）①該產品的銷售利潤為15元/件，
由題意得只有當年銷售量不低于18萬件時年銷售利潤才不低于270萬，
所以年銷售利潤不低于270萬的概率
.
②設甲方案的年銷售量為X萬件，由（1）可知甲方案的年銷售量的期望
，
所以甲方案6年的凈利潤的期望值為
（萬元）.
設乙方案的年銷售量為Y萬件，則乙方案的年銷售量的分布列為
Y | 12 | 16 | 20 |
P | 0.05 | 0.35 | 0.6 |
所以乙方案的年銷售量期望
（萬件），
所以乙方案6年的凈利潤的期望值為
（萬元），
因為乙方案的凈利潤的期望值大于甲方案的凈利潤的期望值,
所以企業應該選擇乙方案.
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【題目】設數列
滿足
，
，
.
（1）求證：數列
為等比數列；
（2）對于大于
的正整數
、
（其中
），若
、
、
三個數經適當排序后能構成等差數列，求符合條件的數組
；
（3）若數列
滿足
，是否存在實數
，使得數列是單調遞增數列？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由.
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【題目】已知數列
的各項均為正數，且
，對于任意的
，均有
，
.
（1）求證：
是等比數列，并求出的通項公式；
（2）若數列
中去掉的項后，余下的項組成數列
，求
；
（3）設
，數列
的前
項和為
，是否存在正整數
，使得
、
、成等比數列，若存在，求出
的值；若不存在，請說明理由.
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【題目】在平面直角坐標系中，曲線C的參數方程為
（
為參數），以平面直角坐標系的原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系.
（1）求曲線C的極坐標方程；
（2）過點
，傾斜角為
的直線l與曲線C相交于M，N兩點，求
的值.
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【題目】“干支紀年法”是中國歷法上自古以來使用的紀年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被稱為“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”。“天干”以“甲”字開始，“地支”以“子”字開始，兩者按干支順序相配，組成了干支紀年法，其相配順序為：甲子、乙丑、丙寅…癸酉，甲戌、乙亥、丙子…癸未，甲申、乙酉、丙戌…癸巳，…，共得到60個組合，稱六十甲子，周而復始，無窮無盡。2019年是“干支紀年法”中的己亥年，那么2026年是“干支紀年法”中的
A. 甲辰年B. 乙巳年C. 丙午年D. 丁未年
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【題目】已知函數
，其導函數設為
.
（Ⅰ）求函數
的單調區間；
（Ⅱ）若函數有兩個極值點
，
，試用
表示
；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，若的極值點恰為的零點，試求，這兩個函數的所有極值之和的取值范圍.
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【題目】已知
表示不小于x的最小整數，例如
.
（1）設
，
，若
，求實數m的取值范圍；
（2）設
，
在區間
（
）上的值域為
，求集合中元素的個數；
（3）設
（
），
，若對于
，
，都有
，求實數a的取值范圍.
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