Question

【題目】已知△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足asinA-csinC=b(sinA－sinB）．

（Ⅰ）求角C的大小；

（Ⅱ）若邊長c=4，求△ABC的周長最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）12.

【解析】試題分析：（1）由正弦定理把角化為邊得到a2+b2-c2=ab，進而根據余弦定理即可求角；

（2）利用正弦定理將邊化為角，得到a+b+c=+sinA+sin（－A），進而利用和差角公式整理得到8sin（A+）+4，利用三角函數的性質即可求解.

試題解析：

（Ⅰ）由已知，根據正弦定理，asinA-csinC=（a-b）sinB

得，a2-c2= b（a-b），即a2+b2-c2=ab．

由余弦定理得cosC==．

又C∈（0，π）．

所以C=．

（Ⅱ）∵C=，，A+B=，

∴，

可得：a=sinA，b=sinB=sin（－A），

∴a+b+c=+sinA+sin（－A）

=+sinA+（cosA+sinA）

=8sin（A+）+4

∵由0＜A＜可知，＜A+＜，可得：＜sin（A+）≤1．

∴△ABC的周長a+b+c的最大值為12．