Question

設函數f(x)=lnx-

1

2

ax2-bx．
（Ⅰ）當a=b=

1

2

時，求函數f（x）的最大值；
（Ⅱ）令F(x)=f(x)+

1

2

ax2+bx+

a

x

（0＜x≤3）其圖象上任意一點P（x₀，y₀）處切線的斜率k≤

1

2

恒成立，求實數a的取值范圍；
（Ⅲ）當a=0，b=-1，方程2mf（x）=x²有唯一實數解，求正數m的值．

Answer 1

考點：導數在最大值、最小值問題中的應用,利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）利用導數求得函數的最大值即可；
（Ⅱ）由導數的幾何意義求得切線的斜率，解不等式求得a的取值范圍；
（Ⅲ）構造函數g（x）=x²-2mlnx-2mx，方程2mf（x）=x²有唯一實數解，等價于函數g（x）的最小值等于0，利用導數求得函數g（x）的最小值，解得即可．

解答： 解：（Ⅰ）依題意，知f（x）的定義域為（0，+∞），
當a=b=

1

2

時，f(x)=lnx-

1

4

x2-

1

2

x，
令f′(x)=

1

x

-

1

2

x-

1

2

=

-(x+2)(x-1)

2x

=0                    …（2分）
解得x=1．
因為g（x）=0有唯一解，所以g（x₂）=0，當0＜x＜1時，f'（x）＞0，此時f（x）單調遞增；
當x＞1時，f'（x）＜0，此時f（x）單調遞減．
所以f（x）的極大值為f(1)=-

3

4

，此即為最大值              …（4分）
（Ⅱ）F(x)=lnx+

a

x

，x∈(0，3]，則有k=F′(x0)=

x0-a

x02

≤

1

2

，在x₀∈（0，3]上恒成立，
所以a≥(-

1

2

x

2 0

+x0)max，x₀∈（0，3]
當x₀=1時，-

1

2

x

2 0

+x0取得最大值

1

2

，所以a≥

1

2

…（8分）
（Ⅲ）因為方程2mf（x）=x²有唯一實數解，所以x²-2mlnx-2mx=0有唯一實數解，
設g（x）=x²-2mlnx-2mx，則g′(x)=

2x2-2mx-2m

x

．
令g'（x）=0，x²-mx-m=0
因為m＞0，x＞0，所以x1=

m- m2+4m

2

＜0（舍去），x2=

m+ m2+4m

2

，
當x∈（0，x₂）時，g'（x）＜0，g（x）在（0，x₂）上單調遞減，
當x∈（x₂，+∞）時，g'（x）＞0，g（x）在（x₂，+∞）上單調遞增，
當x=x₂時，g'（x₂）=0，g（x）取最小值g（x₂）．…（10分）
則

g(x2)=0 g′(x2)=0

即

x22-2mlnx2-2mx2=0 x22-mx2-m=0

所以2mlnx₂+mx₂-m=0，
因為m＞0，所以2lnx₂+x₂-1=0（*）
設函數h（x）=2lnx+x-1，
因為當x＞0時，h（x）是增函數，所以h（x）=0至多有一解．
所以h（1）=0，所以方程（*）的解為x₂=1，即

m+ m2+4m

2

=1，解得m=

1

2

…（12分）

點評：本題主要考查利用導數研究函數的單調性，求切線方程，求函數的最值等知識，注意恒成立問題的轉化及構造法的運用，綜合性強，屬難題．